Мовсисян выступал за «красно-белых» с 2013 по 2015 год под руководством Валерия Карпина и швейцарца Мурата Якина.
«Я очень уважаю Карпина как тренера, как человека. Для меня Карпин — один из лучших в России тренеров. И еще интересно было, что у него тренерская школа была, он играл в Испании.
Было очень интересное время, когда Якин был в “Спартаке”. В первой части сезона было все нормально. А потом что-то случилось, не знаю. Он мне когда-то говорил: “Тебе не надо приезжать на базу на своем Rolls-Royce”. Я говорю: “Почему нет?” Он говорит, что нельзя. После этого я каждый день на Rolls-Royce приезжал», — сказал Мовсисян.
Юра Мовсисян провел за «Спартак» 66 матчей, в которых забил 27 мячей и отдал восемь голевых передач. После ухода из клуба он выступал за «Реал Солт-Лейк» (2016−2018), «Югорден» (2018) и «Чикаго Файр» (2018). В феврале 2021 года Мовсисян объявил о завершении игровой карьеры в 33 года.
