20-летний футболист родился в Словении в семье олимпийского чемпиона по гандболу Эдуарда Кокшарова, который с 1999 по 2011 год выступал за словенский «Целе» и выиграл с ним Лигу чемпионов.
"Помню дом, в котором жил, помню, что пошел на футбол, первый гол на тренировке. Язык я знал, но все уже забыл. Но все говорят, что если я вновь попаду в среду, где все разговаривают, то быстро вспомню, поэтому у меня в планах начать вновь изучать язык, чтобы не забыть. Почему я не играю за Словению? Я выбрал Россию, потому что хочется играть сердцем, хочется играть за родину, за родителей, — сказал Кокшаров.
Александр Кокшаров является воспитанником «Краснодара», за который он провел 20 матчей и забил четыре мяча. В январе этого года нападающий отправился в аренду «Пари НН».
В ноябре 2023 года Кокшаров дебютировал за молодежную сборную России и отметился дублем в ворота сверстников из Беларуси (3:1).
