Симонян родился в 1926 году в Армавире (Краснодарский край). Футболом он начал заниматься в спортшколе сухумского «Динамо», а в 1949 году стал игроком московского «Спартака». Симонян выступал за красно-белых до 1959 года и за это время забил 160 мячей, став лучшим бомбардиром в истории клуба. В составе «Спартака» он четыре раза выиграл чемпионат СССР (1952, 1953, 1956, 1958) и дважды — Кубок страны (1950, 1958).
В составе сборной СССР Симонян провел 20 матчей и забил 10 мячей. В 1956 году он стал олимпийским чемпионом в Мельбурне, а на ЧМ-1958 в Швцеии забил первый в истории гол советской сборной на мундиалях — в ворота сборной Англии (2:2).
После завершения игровой карьеры Симонян работал тренером. Со «Спартаком» он дважды выигрывал чемпионат СССР (1962, 1969) и трижды — Кубок страны (1963, 1965, 1971), а в 1973 году сделал «золотой дубль» с ереванским «Араратом». Также он возглавлял одесский «Черноморец» и сборную СССР.
В 1998 году Симонян стал вице-президентом Российского футбольного союза, а с 2002 года занимал пост первого вице-президента РФС. В октябре 2025 года он получил звание Героя Труда Российской Федерации.
Симонян скончался 23 ноября 2025 года на 100-м году жизни, не дожив до своего юбилея меньше 11 месяцев.