Квартальнов выступал за «Бостон» с 1992 по 1994 год. В 73 матчах регулярного чемпионата НХЛ сезона-1992/93 он набрал 72 очка по системе «гол + пас» (30 + 42).
"Понятно, когда ты сейчас тренер, на какие-то вещи смотришь с улыбкой, тогда были другие эмоции, впечатления, взгляд. Начал я здорово, хотя европейцам в том североамериканском хоккее было тяжеловато. Тогда на травме был Кэм Нили, а когда он вернулся, то у меня шансов появиться в составе не было. Надо было идти, пробиваться, никогда не сдаваться, хоть стена впереди. Возможно, я где-то слабину дал, не до конца рубился за место.
Может, кто-то мне не подсказал, ментально я где-то не сработал. Мы из России тогда пришли одними из первых туда. А «Бостон» был такой реально североамериканской командой по сравнению с «Детройтом», «Нью-Джерси», где было много европейцев. Но мне нужно было продолжать и работать", — рассказал Квартальнов ТАСС.