В системе «Линчепинга» он выступал с 16 до 19 лет, после чего уехал в Северную Америку.
В НХЛ Врана выступал за «Вашингтон», «Детройт», «Сент-Луис» и «Нэшвилл». В общей сложности на его счету 406 матчей в регулярных чемпионатах лиги и 223 (119+104) очка. В плей-офф — 38 игр и 8 (3+5) баллов.
В 2018 году Якуб стал обладателем Кубка Стэнли в составе «Кэпиталс».
В прошлом году игрок вернулся в клуб из столицы США, подписав контракт на год и 775 тысяч долларов по итогам просмотра. По ходу сезона он был выставлен на драфт отказов, откуда его забрали «Предаторс».
