Свою профессиональную карьеру Домжони начинал в «Тиране» в 2014 году. Затем в его карьере были такие клубы, как «Кастриоти», «Термалика» и «Лачи». В 2021-м перешел в швейцарский «Люцерн».
До перехода в «Тобол» выступал за турецкие «Менменспор» и «Манису».
Три года назад дебютировал за сборную Косова в товарищеском матче против Гвинеи.
По мнению специалистов, Давид хорошо читает игру, прикрывает мяч корпусом. Силен в игре «на втором этаже». Может сыграть на опережение и начать быструю контратаку. Опасен при стандартах у чужих ворот.
