Александр Бубнов известен своими выступлениями за московские клубы «Динамо» и «Спартак». В составе бело-голубых защитник выступал с 1974-го по 1983 год.
«Когда я шел в “Динамо” к Гавриилу Дмитриевичу Качалину и Льву Ивановичу Яшину, то хотел играть. И ни о деньгах, ни даже о своем будущем не думал. У меня вообще было ощущение, что я всю жизнь буду играть в футбол», — вспоминал Бубнов в своей книге, его слова приводит пресс-служба «Динамо».
Он провел за «Динамо» 258 матчей во всех турнирах, в которых забил девять голов. С клубом Бубнов завоевал Кубок СССР и Суперкубок СССР в 1977 году, а также выиграл весенний чемпионат страны в 1976 году.
«Поздравляем Александра Викторовича с юбилеем, желаем крепкого здоровья, семейного счастья и успехов на профессиональном поприще», — говорится в заявлении московского «Динамо».
В «Спартаке» Бубнов провел 6 лет (1983−1989). Он принял участие в 217 матчах во всех турнирах, в которых отметился 4 голами. С красно-белыми Бубнов дважды стал чемпионом СССР, три раза серебряным призером и один раз — бронзовым.
В сборной СССР Бубнов отыграл в 34 матчах и выступил на ЧМ-1986.
В качестве тренера Бубнов работал в «Динамо-Газовик» (Тюмень), «Славия» (Мозырь), «Икар» (Саров), «Фабус» (Бронницы) и «Динамо» (Киев).