Хоккеист родился в Омске в семье хоккеиста Алексея Яшкина, который с 1994-го по 2006 год играл за чешский клуб «Всетин». Семья перебралась в Чехию, когда Дмитрию было восемь месяцев.
«Чешский? Да я его забыл уже почти! Я не то что редко общаюсь, но мало все равно. Ну, а с кем мне общаться? Я в Чехию уже сколько не езжу. На неделю просто кайфануть, а так. Где живу остальное время? В Москве.
Как русский учил в Чехии? Ну родители на нем разговаривали, а мы на чешском отвечали. Было такое еще, что когда в садик ходили, съездили в Россию, нас там оставили на пару месяцев, чешский и забыл. Бывает же такое у детей, день прошел, и вернулся чешский.
Русский я знал, но не разговаривал. В Канаде я жил с Ваней Барбашевым и тогда разговаривал как приезжий, не очень хорошо. Начал с ним на русском разговаривать, потом с родителями, и как-то пошло поехало. Потом жену встретил, она дала большой толчок. Очень постаралась, чтобы я правильно разговаривал. Большое спасибо ей за это», — рассказал Яшкин.
В 2012 году Яшкин из пражской «Славии» на один сезон уехал в юниорскую лигу Квебека, откуда затем перебрался в НХЛ. В 2016 году нападающий дебютировал за сборную Чехии на Кубке мира.
С 2019 года Яшкин играет в КХЛ. В минувшем регулярном чемпионате он провел 36 матчей и набрал 24 (18+6) результативных балла.
